福本伸行「賭博覇王伝　零」における最適戦略の存在

さて、まず始めにこの手の問題の常套手段であるモデル化をしよう。鉄板を四枚使って指一本をリスクに晒したとき、狙われる確率は等しく $\frac{1}{5}$ であるとして、駆け引きや読み合い、晒す指による狙われやすさは考慮せず、確率モデルにしていこう。（数学というのはそういうものです）。
以下、Ａを先攻、Ｂを後攻、 $P(A)$ をＡが勝つ確率、 $P(B)$ をＢが勝つ確率と表記する。そして、Ａの取れる戦略を $A=\{a_1,a_2.a_3\}$ 、Ｂの取れる戦略を $B=\{b_1,b_2b_3\}$ とすると、 $a_i,b_j\in \mathbb{N},\quad 2\le a_i,b_j\le 5,\quad\textstyle\sum_{i=1}^3 a_i =\textstyle\sum_{j=1}^3 bj=12$ となる。それにしても、texがめんどくさいことこの上ない。
ここまで定義した上で $P(A),\quad P(B)$ を表記してみよう。
$P(A)=\frac{5-b_1}{5} + \frac{b_1 a_1(5-b_2)}{5^3} + \frac{b_1 a_1 b_2 a_2 (5-b_3)}{5^5}$
$P(B)=\frac{b_1 (5-a_1)}{5^2} + \frac{b_1 a_1 b_2 (5-a_2)}{5^4} + \frac{b_1 a_1 b_2 a_2 b_3 (5-a_3)}{5^6}$
まず $P(A)$ に注目してみよると、なんと $P(A)$ には $a_3$ が現れてないのだ。よって、 $A=\{5,5,2\}$ が $P(A)$ を最大化する最適戦略ということになる。ちょっと考えればこれは当たり前のことで、３ターン目の防御の段まで来てしまったらもうＡに勝ち目は無いのである。
次に、 $P(B)$ を考えてみよう。通分して分子のみに注目すると、 $5^4 b_1 (5-a_1) + 5^2 b_1 a_2 b_2 (5-a_2) + b_1 a_1 b_2 a_2 b_3 (5-a_3)$ となる。ここで、Ａが最適戦略 $A=\{5,5,2\}$ を選ぶとすると、第一項と第二項は $0$ になるので、第三項を最大化する組み合わせ、 $B=\{4,4,4\}$ がＢの最適戦略となる。Ａと比べたら当たり前で面白くない答えが出てしまった。
さて、ここでＡ、Ｂがそれぞれ勝つ確率が最も高い最適戦略をとったとすると、それぞれの確率は $P(A)=\frac{61}{5^3} \quad P(B)=\frac{4^3 \cdot 3}{5^4}$ となっている。それぞれだいたい、0.488と0.282なので、常識的に考えるとおり、このゲームは先攻が圧倒的に有利に出来ているのだ。
もしこのゲームをやることになったらとにかく先攻を取るようにすればいいのだが、ぼくがこれからの人生でこんなキチ○イじみたギャンブルをやる確率というのは果たしてＢが勝つ確率よりも高いのだろうか。常識的に考えて２８％もあるとは思えない。
つまりは机上の空論なのだ（そしてそれこそが数学なのだ）。